底の変換公式の直感的理解について

底の変換公式

$\log_X{Y} = \frac{\log_a{Y}}{\log_a{X}}$

証明はできても「当たり前」という感覚がこれまで自分の中になかったのですが、何となく理解できた気がしたので下に記します。

下図に示す通り、 $X$ を $\log_X{Y}$ 個掛け合わすと $Y$ になり、 $X$ は $a$ を $\log_a{X}$ 個掛け合わさせたものです。

また、下図に示す通り、 $Y$ を $X$ ではなく $a$ の積で表すと $a$ が $\log_a{X}$ 個掛け合わされます。

以上をまとめたのが下の図です。

$a$ が $\log_a{X}$ 個で $X$ １つに相当するので、

$\frac{\log_a{Y}}{\log_a{X}} = \log_X{Y}$

これは底の変換公式そのものです。

説明ナシでも初見で底の変換公式を直感的に理解できる人もいるのでしょうね。。。